%附加的东西

\chapter{一些乱七八糟的计算}
\section{2016年5月}
\subsection{说明}
某些计算，记录下来备查。


\subsection{剪重比的一个计算}
\btitle{计算模型}
这是把抗震规范的底部剪力法、剪重比、地震影响系数曲线合起来的一个计
算。根据底部剪力法，各楼层的剪力可以表示为
\[ V_i = \sum_{k=i}^n F_k \]
其中~$F_i$~是~$k$~质点的水平地震作用标准值。现在知道
\[ F_i = \frac{F_{Ek}}{G_1H_1 + \cdots + G_nH_n}G_iH_i \]
于是各楼层的剪力可以表示为
\[ V_i = \frac{F_{Ek}(G_iH_i + \cdots + G_nH_n)}{G_1H_1 + \cdots + G_nH_n} 
\]
现在从~$V_i$~的表达式中看不出什么内容。下面对计算模型进行一些简化。
这里认为\textbf{各楼层的层高相同}，比如都等于~$H$。这样各楼层剪力
可以表示为
\[ V_i = \frac{F_{Ek}(G_i + \cdots + G_n)}{G_1 + \cdots + G_n} \]
其中的几个符号分别是
\[ F_{Ek} = \alpha_1G_{eq},\quad G = G_1 + \cdots + G_n,\quad G_{eq} = Gq \]
现在各楼层剪力可以表示为
\[ V_i = \alpha_1 q(G_i + \cdots + G_n) \]
可以看到它很像抗震规范中的公式~$(5.2.5)$。其中的~$\alpha_1q$~可以
类比于剪力系数。要满足公式~$(5.2.5)$，就是要求满足
\[ \alpha_1q(G_i + \cdots + G_n) > \lambda(G_i + \cdots + G_n) \]
也就是要求
\[ \alpha_1 q > \lambda \]
从不等式可以看出，不等式两侧的表达式的意义大致相当。也就是不等式左
侧就相当于剪力系数。以上几个系数是规范上规定好的，完全可以进行计算。
下面是一个实际的例子。
\midpar

\ctitle{一个例子}
下面是一个例子。假定各楼层一样高。计算参数如下：结构基本自振周期为
~$4$~秒，抗震设防烈度为~$8$~度，水平地震影响系数最大值为~$0.16$，
场地类别为二类，设计地震分组为第一组，场地特征周期为~$0.35$~秒。基
本滋镇周期满足
\[ 5T_g < T < 6 \]
计算得到
\[ \alpha_1 = 0.030,\quad \alpha_1 q = 0.030\times 0.85 = 0.025 \]
下面计算剪力系数。因为结构自振周期位于~$[3.5, 5]$~秒之间，需要下面
的插值函数
\[ \lambda(T) = -0.0053T + 0.05055 \]
计算结果是
\[ \lambda(4) = 0.02935 \]
比较一下得到~$0.025 < 0.02935$，不满足抗震规范关于剪重比的要求。这种
情况通常发生在结构基本自振周期比较大的情况。
\midpar

\ctitle{楼层最小剪力系数数值的计算}
抗震规范第5.2.5条的条文说明中说，楼层最小地震剪力系数是这么计算的
\[ \lambda = 0.2\alpha_{max} \]
其中的~$\alpha_{max}$~是多遇地震的水平地震影响系数最大值。下面计算
一下：其中~$6$~度的剪力系数是
\[ 0.2\times 0.04 = 0.008 \]
接着~$7$~度的剪力系数是
\[ 0.2\times 0.08 = 0.016 \]
接着~$8$~度的剪力系数是
\[ 0.2\times 0.16 = 0.032 \]
接着~$9$~度的剪力系数是
\[ 0.2\times 0.32 = 0.064 \]
\midpar

\ctitle{计算一个特殊的基本自振周期值}
下面计算一个基本自振周期，使得它的地震影响系数曲线的值等于
~$0.2\alpha_{max}$，或者说是解下面的方程
\[ \alpha(T) = 0.2\alpha_{max} \]
这个数值和剪重比的验算有密切的关系。先计算一下~$T=1.75$~秒的时候的
滋镇影响系数。经过计算，结果是~$0.0188$，它大于~$0.2\alpha_{max}$，
所以要计算的~$T$~值必然大于~$5T_g=1.75$。代入公式计算结果是
\[ T = 3.5(s) \]
这表明如果结构的自振周期大于~$3.5$~秒的时候，采用地震影响系数曲线
计算的地震影响系数已经小于~$5.2.5$~条的剪力系数了。下面是一个一般
的计算。列方程
\[ [0.235 - 0.02(T - 1.75)]\alpha_{max} = 0.2\alpha_{max} \]
解出来结果是
\[ T = 3.5(s) \]
这说明什么呢？它的含义暂不解释。


\subsection{弹簧振子的自由振动}
下面是弹簧振子的方程。其中~$m$~为振子的质量，$c$~是阻尼，$k$~是弹
簧的刚度。
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0 \]
令~$\omega_0 = \sqrt{k/m}$，则方程变为
\[ \ddot{x} + \frac{c}{m}\dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \]
表示为
\[ (D^2 + \frac{c}{m}D + \omega_0^2)x(t) = 0 \]
对括号内因式分解。计算下面方程的根
\[ D^2 + \frac{c}{m}D + \omega_0^2 = 0 \]
结果是
\[ \lambda = \frac{1}{2}
   \left[-\frac{c}{m} \pm \sqrt{(\frac{c}{m})^2 - 4\omega_0^2}\right] 
\]
使用符号
\[ \zeta = \frac{c}{2m\omega_0} \]
于是有
\[ \lambda = \omega_0(-\zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1}) \]
也就是有两个根
\[ \lambda_1 = \omega_0(-\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1}) \]
\[ \lambda_2 = \omega_0(-\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}) \]
所以方程表示为
\[ (D - \lambda_1)(D - \lambda_2)x(t) = 0 \]
\midpar
\hrule
\midpar

下面分情况计算。首先是当~$\zeta=1$~时，这是临界阻尼的情形。这时有
\[ \lambda_1 = \lambda_2 = -\omega_0 \]
方程变成
\[ (D + \omega_0)^2 x(t) = 0 \]
或者表示为
\[ (D + \omega_0)[(D + \omega_0)x(t)] = 0 \]
令~$(D + \omega_0)x(t) = x_1(t)$，方程变成
\[ (D + \omega_0)x_1(t) = 0 \]
解出来
\[ x_1(t) = C_1e^{-\omega_0 t} \]
于是有方程
\[ (D + \omega_0)x(t) = C_1e^{-\omega_0 t} \]
再解这个方程
\[ x(t) = (C_1 + C_2 t) e^{-\omega_0 t} \]
\midpar
\hrule
\midpar

下面计算当~$\zeta > 1$~时的情形。这是过阻尼的情形。方程为
\[ (D - \lambda_1)(D - \lambda_2)x(t) = 0 \]
它的通解是下面两个方程的解的线性组合
\[ (D - \lambda_1)x(t) = 0 \]
\[ (D - \lambda_2)x(t) = 0 \]
这两个方程的解是
\[ x_1(t) = e^{\lambda_1 t},\quad x_2(t) = e^{\lambda_2 t} \]
所以方程的通解是
\[ x(t) = C_1e^{\lambda_1 t} + C_2e^{\lambda_2 t} \]
其中~$\lambda_1,\lambda_2$~都是负的。所以运动衰减很快。
\midpar
\hrule
\midpar

下面是当~$\zeta < 1$~的情形。这是阻尼比较小的情形。这时
\[ \lambda_1 = \omega_0(-\zeta - j\sqrt{1 - \zeta^2}) \]
\[ \lambda_2 = \omega_0(-\zeta + j\sqrt{1 - \zeta^2}) \]
方程的通解是
\[ x(t) = C_1e^{\lambda_1 t} + C_2e^{\lambda_2 t} \]
展开有
\[ x(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}\left[
   C_1e^{-j\sqrt{1 - \zeta^2}\omega_0 t} + 
   C_2e^{j\sqrt{1 - \zeta^2}\omega_0 t}\right] 
\]
再展开有
\[ x(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}[
   A\cos(\sqrt{1 - \zeta^2}\omega_0 t) + 
   B\sin(\sqrt{1 - \zeta^2}\omega_0 t)] 
\]
也可以写成
\[ x(t) = \sqrt{A^2 + B^2}e^{-\zeta\omega_0 t}
   \sin(\sqrt{1 - \zeta^2}\omega_0 t + \varphi) 
\]
这是一个衰减的正弦振动。当无阻尼时，也就是~$\zeta=0$~时，有
\[ x(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t) \]
这是一个正弦运动。


\subsection{弹簧振子的受迫振动}
受迫振动就是非齐次方程。一般的情况是
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = f(t) \]
基本的受迫振动是右侧为一个正弦力
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0\sin\omega t \]
方程简写为
\[ [mD^2 + cD + k]x(t) = F_0\sin\omega t \]
把它变到复数域中计算，就是
\[ [mD^2 + cD + k]z(t) = F_0 e^{j\omega t} \]
其中~$D$~表示微分。因为右侧是微分的特征函数，所以它的解可以直接看
出来，就是
\[ [m(j\omega)^2 + c(j\omega) + k]z(t) = F_0 e^{j\omega t} \]
使用符号
\[ \omega_0 = \sqrt{k/m},\quad \zeta = \frac{c}{2m\omega_0},
   \quad s = \frac{\omega}{\omega_0} 
\]
经过计算，结果是
\[ [(1 - s^2) + j(2\zeta s)]z(t) = \frac{F_0}{k}e^{j\omega t} \]
把中括号中的复数表示为三角形式，也就是
\[ (1 - s^2) + j(2\zeta s) = \sqrt{(1-s^2)^2 + (2\zeta s)^2}e^{j\theta} \]
于是有
\[ \sqrt{(1-s^2)^2 + (2\zeta s)^2}e^{j\theta} z(t) = 
   \frac{F_0}{k}e^{j\omega t} 
\]
结果是
\[ z(t) = \frac{F_0}{k}\frac{1}
   {\sqrt{(1-s^2)^2 + (2\zeta s)^2}}e^{j(\omega t - \theta)} 
\]
这样得到了复数方程的解。要把它表示的简单一些，可以使用参数
\[ \beta(s) = \frac{1}{\sqrt{(1-s^2)^2 + (2\zeta s)^2}} \]
\[ \theta = \arctan\frac{2\zeta s}{1 - s^2} \]
这样可以表示为
\[ z(t) = \frac{F_0}{k}\beta e^{j(\omega t - \theta)} \]
取~$z(t)$~的虚部就是原方程的解。所以它的实数解是
\[ x(t) = \frac{F_0}{k}\beta\sin(\omega t - \theta) \]
这表示受迫振动就是一个正弦振动。振动的频率与外力的频率相同。
\midpar
\hrule
\midpar

对结果的分析。实际的振动为
\[ x(t) = \frac{F_0}{k}\beta\sin(\omega t - \theta) \]
它是正弦振动，最大位移就是振幅，也就是
\[ x_{\max} = \frac{F_0}{k}\beta \]
如果不是正弦的外力，而是一个固定力~$F_0$，那么弹簧的静位移是
\[ x_0 = \frac{F_0}{k} \]
在振动状态下的最大位移与静位移的比值是
\[ \frac{x_{\max}}{x_0} = \beta(s) \]
所以~$\beta(s)$~就是一个放大系数。
\midpar

（1）当无阻尼的时候，也就是~$\zeta=0$，这时候
\[ \beta(s) = \frac{1}{|1 - s^2|} \]
这时候当~$s$~趋于~$1$~时，也就是外力的频率趋于系统的固有频率时，放
大系数趋于无穷。这就是共振的情形。如果存在阻尼的话，虽然也存在共振，
但是振动不会无限大。
\midpar

（2）当~$s$~趋于零时，也就是外力频率趋于零，也就是外力变化的非常慢。
这时候，它相当于一个静荷载，那么它的动力效应就消失了。于是动力系数
~$\beta=1$。
\midpar

（3）当~$s$~趋于无穷时，表示外力的频率趋于无穷。这样弹簧振子就来不
及运动，所以它的最大位移会趋于零。
\midpar

（4）什么时候放大系数~$\beta$~最大。因为放大系数为
\[ \beta(s) = \frac{1}{\sqrt{(1-s^2)^2 + (2\zeta s)^2}} \]
也就是分母最小的时候，放大系数最大。令
\[ f(s) = (1-s^2)^2 + (2\zeta s)^2 \]
也就是计算~$f(s)$~的最小值。其中~$s$~取值范围为~$(0,\infty)$。极值
条件为
\[ f'(s) = 0 \]
经过计算，就是
\[ s = \sqrt{1 - 2\zeta^2} = \frac{\omega}{\omega_0} \]
也就是当外荷载的频率为
\[ \omega = \omega_0\sqrt{1 - 2\zeta^2} \]
时，振动效应最大。这个结果有点出人意料。因为一般情况下认为外荷载频
率与固有振动频率相同时振动效应最大。上面根号下可能会是个负值，所以
这可能是个问题。实际上当
\[ 1 - 2\zeta^2 < 0 \]
时，这是一个临界点。这时候函数~$\beta(s)$~在~$[0,\infty)$~上没有极
值。这就是阻尼比较大的时候发生的情况。在这种情况下
\[ \beta(s) \leq 1 \]
这个临界阻尼比是
\[ \zeta = \frac{\sqrt{2}}{2} = 0.707 \]
当阻尼比超过这个数值时，无论外力频率是什么数值，放大系数都小于一。
实际上当~$2\zeta^2>1$~时
\[ f(s) = (1 - s^2)^2 + (2\zeta s)^2 \geq 1 + s^4 \]
不等式右侧是个单调递减的函数。所以它没有极值。


\subsection{弹簧振子的通解}
对于方程
\[ P(D)x(t) = F_0\sin\omega t \]
来说，它的通解是齐次方程的通解加上非齐次方程的特解。也就是如果有
两个函数满足下面的方程
\[ P(D)x_0(t) = 0 \]
\[ P(D)x_1(t) = F_0\sin\omega t \]
那么它的通解是
\[ x(t) = Cx_0(t) + x_1(t) \]
对于有阻尼的情形，函数~$x_0(t)$~呈指数衰减，所以很快趋于零。最后的
振动只剩下~$x_1(t)$~项，这就是稳态部分。


\subsection{弹簧振子对任意周期力的响应}
弹簧振子收到一般的周期力作用，方程是
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = f(t) \]
其中~$f(t)$~的基波周期是~$T$。这样~$f(t)$~能够表示为傅里叶级数。而
傅里叶级数大致有两种形式，一种是用三角函数表示的实数形式。另一种是
用复数形式。下面是复数形式。
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = \sum_{k=-\infty}^{\infty} F_k e^{jk\omega t} 
\]
其中~$F_k$~可能也是复数。解这个方程，等于先解下面的一列方程
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_k e^{jk\omega t},
   \quad (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots)
\]
解出来每一个方程~$x_k(t)$，再把结果加起来即可
\[ x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_k(t) \]
\midpar
\hrule
\midpar

下面是个实际的例子。比如方程
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = \sin(\omega t) \]
这个方程前面已经计算过了。不过这里是把这个正弦函数展开成复的傅里叶
级数。它的结果是
\[ \sin(\omega t) = \frac{1}{2j}e^{j\omega t} - \frac{1}{2j}e^{-j\omega t} 
\]
所以需要计算下面两个方程
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = \frac{1}{2j}e^{j\omega t} \eqno{(1)} \]
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = -\frac{1}{2j}e^{-j\omega t} \eqno{(2)} \]
下面先计算方程~$(1)$~的解，根据前面的计算结果有
\[ x_1(t) = \frac{1}{2jk}\beta(s_1)e^{j(\omega t - \theta_1)} \]
\[ s_1 = \frac{\omega}{\omega_0},\quad 
   \theta_1 = \arctan\frac{2\zeta s_1}{1 - s_1^2} 
\]
下面计算方程~$(2)$~的解，根据前面的计算结果有
\[ x_2(t) = -\frac{1}{2jk}\beta(s_2)e^{j(-\omega t - \theta_2)} \]
这里有
\[ s_2 = \frac{-\omega}{\omega_0} = -s_1,\quad \theta_2 = -\theta_1,
   \quad \beta(s_2) = \beta(s_1) 
\]
所以有
\[ x_2(t) = -\frac{1}{2jk}\beta(s_1)e^{-j(\omega t - \theta_1)} \]
原方程的解是
\[ x(t) = x_1(t) + x_2(t) = \frac{1}{k}\beta(s_1)\sin(\omega t - \theta_1) 
\]
这个结果与原来的结果是一样的。实际上，一个实函数展开成复的傅里叶级
数，表面上看~$x(t)$~也是一个复函数，但是计算到最后，它还是一个实函
数。所以不管怎么样，可以尽管把一个函数展开成复的傅里叶级数，这没有
任何问题。如果一个函数是奇函数或者是偶函数，那么它可以展开成实的傅
里叶级数，这也是没有问题的。
\midpar
\hrule
\midpar

例子。弹簧振子受到的周期里是方波
\[ f(t) = -F\quad (-\frac{T}{2} < t < 0) \]
\[ f(t) = F\quad (0 < t < \frac{T}{2}) \]
这个函数展开成傅里叶级数是
\[ f(t) = \sum_{n=1,3,5,\cdots}^{\infty} \frac{4F}{n\pi}\sin n(2\pi/T)t \]
所以方程是
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 
   \sum_{n=1,3,5,\cdots}^{\infty} \frac{4F}{n\pi}\sin n(2\pi/T)t 
\]
也就是要先解一组方程
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = \frac{4F}{n\pi}\sin n(2\pi/T)t,
   \quad (n=1,3,5,\cdots)
\]
每个方程的解是
\[ x_n(t) = \frac{4F}{n\pi k}\beta(s_n) e^{j(n(2\pi/T)t - \theta_n)} \]
\[ s_n = \frac{n(2\pi/T)}{\omega_0},\quad 
   \theta_n = \arctan\frac{2\zeta s_n}{1 - s_n^2} 
\]
原方程的解是
\[ x(t) = \sum_{n=1,3,5,\cdots}^{\infty} x_n(t) \]


\section{多自由度的振动}
\subsection{二次齐次函数}
二次齐次函数~$f(x_1,\cdots,x_n)$~有这样的特点
\[ f(\lambda x_1,\cdots,\lambda x_n) = \lambda^2 f(x_1,\cdots,x_n),
   \quad (k\in R) 
\]
比如下面的函数就是一个二次齐次函数
\[ f(x_1,x_2) = \frac{1}{2}k(x_2 - x_1)^2 \]


\subsection{动能势能表示为二次齐次函数}
动能与势能可以表示为二次齐次函数。比如一个弹簧两端连了两个质点，它的
势能表示为
\[ U = \frac{1}{2}k(x_2 - x_1)^2 = \frac{1}{2}k(x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2) \]
动能也是一样。所以一般的形式就是表示成二次齐次函数的形式。也就是动
能表示为
\[ T = \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n m_{ij}\dot{q}_i\dot{q}_j \]
势能表示为
\[ U = \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n k_{ij}q_iq_j \]


\subsection{列方程}
拉格朗日函数为
\[ L = T - U \]
就是动能减势能。列方程的方法是
\[ \dt{t}\pft{L}{\dot{q}_i} - \pft{L}{q_i} = Q_i\quad (i=1,2,\cdots,n) \]
动能的二倍~$2T$~表示为
\[ m_{11}q'_1q'_1 + m_{12}q'_1q'_2 + \cdots + m_{1n}q'_1q'_n + \]
\[ m_{21}q'_2q'_1 + m_{22}q'_2q'_2 + \cdots + m_{2n}q'_2q'_n + \]
\[ \cdots \]
\[ m_{n1}q'_nq'_1 + m_{n2}q'_nq'_2 + \cdots + m_{nn}q'_nq'_n \]
其中使用矩阵表示系数
\[ M_0 = [m_{ij}],\quad K_0 = [k_{ij}] \]
经过计算有
\[ \pft{(2T)}{q'_1} = 
   2m_{11}q'_1 + (m_{12} + m_{21})q'_2 + \cdots + (m_{1n} + m_{n1})q'_n 
\]
其他也是类似的。所以有结果
\[ \dt{t}\pft{(2T)}{\dot{q}_i} = 
   (M_0 + M_0^T)[\ddot{q}_1,\cdots,\ddot{q}_n]^T 
\]
也就是
\[ \dt{t}\pft{T}{\dot{q}_i} = 
   \frac{(M_0 + M_0^T)}{2} [\ddot{q}_1,\cdots,\ddot{q}_n]^T 
\]
另一个是
\[ \pft{U}{q_i} = \frac{(K_0 + K_0^T)}{2}[q_1,\cdots,q_n]^T \]
使用符号
\[ M = \frac{M_0 + M_0^T}{2},\quad K = \frac{K_0 + K_0^T}{2} \]
\[ q = [q_1,\cdots,q_n]^T \]
\[ \ddot{q} = [\ddot{q}_1,\cdots,\ddot{q}_n]^T \]
\[ Q = [Q_1,\cdots,Q_n]^T \]
最后的方程是
\[ M\ddot{q} + Kq = Q \]


\subsection{对称矩阵}
下面方程中的~$M,K$~都是对称矩阵。
\[ M\ddot{q} + Kq = Q \]
因为对于任意一个矩阵~$A$~来说，由它产生的矩阵~$(A + A^T)$~是对称矩阵。
使用符号
\[ B = A + A^T \]
那么
\[ B^T = (A + A^T)^T = A^T + A = B \]
所以~$B$~是对称矩阵。它的一半也是对称矩阵。又由于~$M,K$~中的元素都是
实数，所以它们还是实对称矩阵。


\subsection{自由振动方程}
自由振动方程就是所有外力为零，也就是~$Q = 0$，所以自由振动的方程是
\[ M\ddot{q} + Kq = 0 \]
其中~$M,K$~都是实对称矩阵。


\subsection{实对称矩阵}
\btitle{实对称矩阵的特征值是实数}
设~$A$~是一个~$n$~阶实对称矩阵。令
\[ z = \cmatrix{z}{n} \]
是一个复的特征向量，那么有一个特征值~$\lambda$~满足
\[ Az = \lambda z \]
现在~$\lambda$~可能为复数。下面计算
\[ Az = \lambda z \]
\[ \overline{z}^T A z = \overline{z}^T \lambda z \]
\[ \overline{z}^T A^T z = \lambda\overline{z}^T z \]
\[ (A\overline{z})^T z = \lambda\overline{z}^T z \]
\[ (\overline{AZ})^T z = \lambda\overline{z}^T z \]
\[ (\overline{\lambda z})^T z = \lambda\overline{z}^T z \]
\[ (\overline{\lambda}\overline{z})^T z = \lambda\overline{z}^T z \]
\[ \overline{\lambda} \overline{z}^T z = \lambda \overline{z}^T z \]
\[ (\overline{\lambda} - \lambda)(\overline{z}^T z) = 0 \]
由于第二个括号内不为零，那么只能有
\[ \overline{\lambda} - \lambda = 0 \]
令~$\lambda = a + bi$~代入上式，得到
\[ b = 0 \]
所以~$\lambda$~是个实数。
\midpar

\ctitle{实对称矩阵的对角化}
矩阵~$A$~是实对称矩阵，它一定有~$n$~个互相正交的特征向量。也就是
\[ Ar_i = \lambda_i r_i\quad (i=1,2,\cdots,n) \]
其中~$r_i$~可以有重复的。于是这些特征向量组成一个矩阵
\[ R = [r_1,r_2,\cdots,r_n] \]
其中~$r_i$~都是列向量。那么有公式
\[ A = RBR^{-1} \]
\[ B = R^{-1}AR \]
因为
\begin{eqnarray*}
R^{-1}AR &=& R^{-1}A[r_1,r_2,\cdots,r_n] \\
&=& R^{-1}[Ar_1,Ar_2,\cdots,Ar_n] \\
&=& R^{-1}[\lambda_1 r_1, \lambda_2r_2,\cdots,\lambda_nr_n] \\
&=& R^{-1}[r_1, r_2,\cdots,r_n][\lambda_i] \\
&=& R^{-1}R[\lambda_i] \\
&=& [\lambda_i] 
\end{eqnarray*}
其中~$[\lambda_i]$~是对角矩阵。所以实对称矩阵可以如上分解。
\midpar

\ctitle{实对称矩阵的可逆性}
$n$~维实对称矩阵~$A$~有~$n$~个特征值，这些特征值可以重复。如果这些
特征值~$\lambda_i$~都不等于零，这些特征值组成的矩阵为
\[ B = \diagm{\lambda}{n} \]
那么矩阵~$B$~是可逆的。由于有公式
\[ A = RBR^{-1} \]
所以
\[ A^{-1} = RB^{-1}R^{-1} \]
所以~$A$~是可逆的。这就是说只要~$A$~的所有特征值不为零，它就是可逆的。
\midpar

实对称矩阵~$A$~的逆矩阵也是对称的。因为
\[ AA^{-1} = E \]
\[ (AA^{-1})^T = E^T \]
\[ (A^{-1})^T A^T = E \]
\[ (A^{-1})^T A = E \]
\[ (A^{-1})^T = A^{-1} \]
这说明~$A^{-1}$~也是对称矩阵。
\midpar

\ctitle{复特征向量的存在性}
实对称矩阵的特征值虽然都是实数，但特征向量可以是复特征向量。比如有
\[ Ax = \lambda x \]
其中~$\lambda$~是实的特征值，$x$~是实的特征向量。那么就可以构造复
特征向量如下。
\[ A(ix) = \lambda (ix) \]
相加得到
\[ A(x + ix) = \lambda (x + ix) \]
所以复向量
\[ z = \cmatrix{x}{n} + i\cmatrix{x}{n} \]
是特征向量。
\midpar

实际上一个复向量是特征向量，那么它的实部和虚部都是~$\lambda$~的特征
向量。但是这两个特征向量是线性相关的。
\midpar


\ctitle{例子}
比如计算下面的矩阵的特征值和特征向量
\[ A = 
\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 2 
\end{array}\right]
\]
它的特征值是
\[ \lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 2 \]
两个特征值对应的特征向量分别是
\[ \vec{r}_1 = \twocm{1}{0},\quad \vec{r}_2 = \twocm{0}{1} \]
\midpar


\ctitle{复特征向量的实部和虚部}
对于给定的方阵~$A$，如果它的某个特征值~$\lambda$~对应一个复特征向量
~$z$，这个复特征向量可以表示为
\[ z = \cmatrix{x}{n} + j\cmatrix{y}{n} \]
它是由两个实特征向量组成的。那么有
\[ Az = \lambda z \]
从此可以分出两个表达式
\[ Ax = \lambda x,\quad Ay = \lambda y \]
那么这表示复特征向量的实部和虚部都是特征向量。另一方面，复特征向量
的共轭也是特征向量。
\midpar

下面分两种情形。当~$x,y$~线性相关时，得到两个线性相关的特征向量~$x,y$，
实际上只得到一个特征向量~$x$。
\midpar

当~$x,y$~线性无关时，得到两个特征向量~$x,y$。此时它们对应同一特征值。
也就是有
\[ Ax = \lambda x,\quad Ay = \lambda y \]
那么~$x,y$~的所有线性组合也是~$\lambda$~的特征向量。就是
\begin{eqnarray*}
A(ax + by) &=& aAx + bAy \\
&=& a\lambda x + b\lambda y \\
&=& \lambda(ax + by)
\end{eqnarray*}
因此不管哪种情形，只需要实特征向量即可。
\midpar


\ctitle{向量的正交性}
两个向量~$x,y$~它们正交，是说它们满足
\[ x\cdot y = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n = 0 \]
\midpar


\ctitle{实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的}
证明待续。
\midpar


\ctitle{属于相同特征值的线性无关的特征向量}
如果同一个特征值有两个线性无关的特征向量，也就是
\[ Ax = \lambda x,\quad Ay = \lambda y \]
其中~$x,y$~线性无关。那么~$x,y$~构成一个线性子空间。这时候这个线性
子空间的所有非零向量都是~$\lambda$~的特征向量。只需要简单的计算
\begin{eqnarray*}
A(ax + by) &=& aAx + bAy \\
&=& a\lambda x + b\lambda y \\
&=& \lambda(ax + by)
\end{eqnarray*}
在这种情况下，在~$x,y$~组成的子线性空间中，也一定能够找到两个特征
向量，它们互相正交。
\midpar


\subsection{振动方程的解法分析}
受迫振动方程
\[ M\ddot{q} + Kq = Q \]
有一个看起来比较自然的解法，但是一般情况下它是不可行的。
\[ \ddot{q} + (M^{-1}K)q = M^{-1}Q \]
其中~$M$~是实对称矩阵，它的逆也是实对称矩阵。所以~$M^{-1}K$~是两个
实对称矩阵的乘积。如果结果还是一个实对称矩阵，它可以对角化。也就是
表示为
\[ M^{-1}K = PBP^{-1} \]
其中~$P$~是可逆矩阵，$B$~是对角矩阵。那么就可以进行坐标替换
\[ \ddot{q} + PBP^{-1}q = M^{-1}Q \]
\[ \ddot{q} + PB(P^{-1}q) = M^{-1}Q \]
\[ P^{-1}\ddot{q} + B(P^{-1}q) = M^{-1}Q \]
\[ (P^{-1}q)'' + B(P^{-1}q) = M^{-1}Q \]
使用新坐标~$s=P^{-1}q$，方程写成
\[ \ddot{s} + Bs = M^{-1}Q \]
这是一个解耦的方程。可以解出来~$s$，再把坐标变回来
\[ q = Ps \]
就计算出了~$q$。但是这种方法是不可行的。因为两个对称矩阵的乘积不一定
是对阵矩阵。
\[ (AB)^T = B^TA^T = BA \]
如果要让~$AB$~是对称矩阵，要求这两个矩阵乘法可以交换。一般情况下，两
个矩阵乘法不能交换。所以上面的计算方法看似很美好，实际上不可行。
\midpar
\hrule
\midpar


自由振动方程
\[ M\ddot{q} + Kq = 0 \]
有一种可能的解法。它看起来很像一维的方程。
\[ \ddot{q} + M^{-1}Kq = 0 \]
\[ (D^2 + M^{-1}K)q = 0 \]
其中形式化的特征方程为
\[ D^2 + M^{-1}K = 0 \]
其中矩阵~$M^{-1}K$~可能表示为一个矩阵的平方，就是
\[ M^{-1}K = A^2 \]
这样
\[ D^2 + A^2 = 0 \]
分解一下有
\[ (D + Ai)(D - Ai) = 0 \]
原方程写成
\[ (D + Ai)(D - Ai)q = 0 \]
这样分别解两个方程
\[ (D + Ai)q = 0 \]
\[ (D - Ai)q = 0 \]
形式化的解是
\[ q_1(t) = e^{iAt},\quad q_2(t) = e^{-iAt} \]
不过这样矩阵~$A$~成了指数。实际上很难计算。
\midpar
\hrule
\midpar


对于振动方程
\[ M\ddot{x} + Kx = Q \]
其中~$Q=[q_1(t),\cdots,q_n(t)]^T$。这实际上是比较难解的。这些周期函数
可以用傅里叶级数展开。展开的结果就是
\[ q_i(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} A_{ik} e^{jk\omega t},
   \quad (i=1,\cdots,n) 
\]
所以需要解的方程就是一系列比较简单的方程。也就是下面的方程
\[ M\ddot{x} + Kx = Fe^{j\omega t} \]
\[ F = [F_1,F_2,\cdots,F_n]^T \]
这个方程可能比较好解。但是它还是比一维的情形难一些，因为里面含有矩
阵。当然从形式上看，它与一维的情形是完全一样的。方程右侧还是微分的
特征函数。所以可以认为它的解是
\[ x(t) = [A_1,\cdots,A_n]^T e^{j\omega t} \]
代入计算
\[ (K - \omega^2 M)A = F \]
\[ A = (K - \omega^2 M)^{-1}F \]
这样计算出待定系数~$A$，于是计算出~$x(t)$。所以这一过程与一维情形
十分类似。
\midpar

而对于齐次方程
\[ M\ddot{x} + Kx = 0 \]
仍然把
\[ x(t) = [A_1,\cdots,A_n]^T e^{j\omega t} \]
代入。至于这样有什么道理，就不好说了。实际上因为它是微分的特征函数，
所以最后总是能把~$e^{j\omega t}$~消去。结果是
\[ (K - \omega^2 M)Fe^{j\omega t} = 0 \]
如果要使方程有非零解，也就是~$Fe^{j\omega t}$~不为零，那么矩阵
\[ K - \omega^2 M \]
的行列式应该是零。行列式的结果有赖于~$\omega$~的数值。所以从这里可
以计算出一系列的~$\omega$，也就是
\[ \omega_1 < \omega_2 < \cdots < \omega_n \]
于是有一些列的函数满足原方程
\[ x_k(t) = Fe^{j\omega_k t},\quad (k=1,2,\cdots,n) \]
这可能就是这个方程的一些比较单纯的解。由于他们对应不同的特征值，他
们应该是正交的。


\section{多自由度的振动2}
\subsection{多自由度的自由振动}
多自由度的自由振动方程是
\[ M\ddot{x} + Kx = 0 \]
其中~$M,K$~是对称矩阵。令方程有下面形式的解
\[ x = A_1e^{j\omega t} = [A_{11},A_{12},\cdots,A_{1n}]^T e^{j\omega t} \]
为什么是这个形式的解，其实最开始这可能是猜的或者蒙的。有许多东西需
要靠猜。另外，任意一个连续函数可以分解为傅里叶级数，傅里叶级数的基
本元素就是~$e^{j\omega t}$。何况这个基本元素是微分的特征函数。所以
猜测它是方程的一个解是非常合适的。把它代入上面的方程，结果是
\[ (K - \omega^2M)A_1e^{j\omega t} = 0 \]
要使方程有非零解~$A_1e^{j\omega t}$，必须有
\[ |K - \omega^2 M| = 0 \]
所以可以计算出满足上式的
\[ 0 < \omega_1 < \omega_2 < \cdots < \omega_n \]
这里认为它们各不相同。每一个特征值~$\omega_i$~对应一个特征向量~$A_i$，
于是得到多个解
\[ A_1e^{j\omega_1 t}, A_2e^{j\omega_2 t}, \cdots, A_ne^{j\omega_n t} \]
\midpar

把~$A_ie^{j\omega_i t}$~展开代入原方程
\[ (K - \omega_i^2M)A_i(\cos\omega_i t + j\sin\omega_i t) = 0 \]
于是得到
\[ (K - \omega_i^2M)A_i\cos\omega_i t = 0 \]
\[ (K - \omega_i^2M)A_i\sin\omega_i t = 0 \]
所以~$A_i\cos\omega_i t$~和~$A_i\sin\omega_i t$~都是原方程的解。不过
这个结论只是在无阻尼的情况下成立。
\midpar
\hrule
\midpar

继续。于是有
\[ (K - \omega_i^2 M)A_ie^{j\omega_i t} = 0\quad (i=1,2,\cdots,n) \]
现在把~$(K - \omega_i^2 M)A_i$~作为一部分，$e^{j\omega_i t}$~作为一
部分，由于第二部分不恒等于零，所以有
\[ (K - \omega_i^2 M)A_i = 0\quad (i=1,2,\cdots,n) \]
所有的特征向量~$A_i$~可以组成一个矩阵
\[ A = [A_1, A_2, \cdots, A_n] \]
\midpar
\hrule
\midpar

正交性。由
\[ (K - \omega_i^2 M)A_i = 0\quad (i=1,2,\cdots,n) \]
它表示为
\[ KA_i = \omega_i^2MA_i\quad (i=1,2,\cdots,n) \]
现在拿出任意两个
\[ KA_i = \omega_i^2MA_i  \eqno{(1)} \]
\[ KA_j = \omega_j^2MA_j  \eqno{(2)} \]
计算~$(1)$~的转置
\[ (KA_i)^T = (\omega_i^2MA_i)^T \]
\[ A_i^T K^T = \omega_i^2 A_i^T M^T \]
\[ A_i^T K = \omega_i^2 A_i^T M \]
于是有
\[ A_i^T K A_j = \omega_i^2 A_i^T M A_j \eqno{(3)} \]
计算~$(2)$~的转置，结果是
\[ A_j^T K = \omega_j^2 A_j^T M \]
于是有
\[ A_j^T K A_i = \omega_j^2 A_j^T M A_i \eqno{(4)} \]
由于~$(3),(4)$~的左边互为转置的关系，所以有
\[ \omega_j^2 A_j^T M A_i = (\omega_i^2 A_i^T M A_j)^T \]
\[ \omega_j^2 A_j^T M A_i = \omega_i^2 A_j^T M A_i \]
\[ (\omega_j^2 - \omega_i^2)A_j^T M A_i = 0 \]
由于~$\omega_i\neq \omega_j$，所以有
\[ A_j^T M A_i = 0\quad (i\neq j) \]
这就是一个正交关系。还有另一个正交关系。因为
\[ A_i^T K A_j = \omega_i^2 A_i^T M A_j \]
\[ A_j^T K A_i = \omega_j^2 A_j^T M A_i \]
表示为
\[ \frac{1}{\omega_i^2}A_i^T K A_j = A_i^T M A_j \]
\[ \frac{1}{\omega_j^2}A_j^T K A_i = A_j^T M A_i \]
于是有
\[ \frac{1}{\omega_i^2} A_i^T K A_j = \frac{1}{\omega_j^2} A_i^T K A_j \]
\[ (\frac{1}{\omega_i^2} - \frac{1}{\omega_j^2}) A_i^T K A_j = 0 \]
于是有
\[ A_i^T K A_j = 0\quad (i\neq j) \]
这也是一个正交关系。
\midpar
\hrule
\midpar

矩阵的对角化。由于正交性，计算
\[ A^TMA = [A_1^T,\cdots,A_n^T]^T M[A_1,\cdots,A_n] \]
\[ A^TMA = [A_1^TM,\cdots,A_n^TM]^T [A_1,\cdots,A_n] \]
上式右侧是两个矩阵的乘积，只是表示成了行向量与列向量的形式。所以结果是
\[
\left[\begin{array}{cccc}
A_1^TMA_1 & A_1^TMA_2 & \cdots & A_1^TMA_n \\
A_2^TMA_1 & A_2^TMA_2 & \cdots & A_2^TMA_n \\
\cdots \\
A_n^TMA_1 & A_n^TMA_2 & \cdots & A_n^TMA_n 
\end{array}\right]
\]
简单的写就是
\[ A^TMA = [A_i^TMA_j] \]
所以这是一个对角化的矩阵。同样的有
\[ A^TKA = [A_i^TKA_j] \]
也是对角化矩阵。
\midpar
\hrule
\midpar

方程的解耦。
\[ Mx'' + Kx = 0 \]
\[ (MAA^{-1})x'' + (KAA^{-1})x = 0 \]
\[ (MA)(A^{-1}x'') + (KA)(A^{-1}x) = 0 \]
\[ (MA)(A^{-1}x)'' + (KA)(A^{-1}x) = 0 \]
\[ (A^TMA)(A^{-1}x)'' + (A^TKA)(A^{-1}x) = 0 \]
使用符号
\[ s = A^{-1}x \]
方程变成
\[ (A^TMA)s'' + (A^TKA)s = 0 \]
其中~$A^TMA$~与~$A^TKA$~都是对角矩阵，所以此方程已经解耦。可以直接
计算。计算出~$s$~之后，就有
\[ x = As \]
就是原方程的解。


\subsection{线性时不变系统}
\btitle{线性时不变系统的含义}
用~$x(t)$~表示给系统的输入，用~$y(t)$~表示系统的输出，用~$f$~表示系统
输入输出之间的关系，也就是
\[ y(t) = f(x(t)) \]
那么最简单的系统就是线性系统。就是满足下面的等式
\[ f(x_1(t) + x_2(t)) = f(x_1(t)) + f(x_2(t)) \]
另外一方面，很多系统的输入输出性质不受时间影响，也就是满足等式
\[ y(t - a) = f(x(t - a)) \]
这叫时不变性。这两个性质加起来，就是最简单的系统，叫线性时不变系统。
\midpar

\ctitle{狄拉克函数}
狄拉克函数~$\delta(x)$~又叫单位冲激函数。它满足下面两条性质。第一条
\[ \delta(x) = \left\{
	\begin{array}{ll}
	  +\infty & (x = 0) \\
	  0       & (x\neq 0)
	\end{array}
   \right.
\]
第二条性质
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)dx = 1 \]
所以它叫做单位冲激函数。
\midpar

狄拉克函数是偶函数。也就是满足
\[ \delta(t - a) = \delta(a - t) \]
\midpar

\ctitle{函数用狄拉克函数表示}
有下面的表示
\[ x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t - \tau)d\tau \]
它可以按下面的方法计算
\begin{eqnarray*}
& & \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\delta(t - \tau)d\tau \\
&=& \int_{t-\Delta}^{t+\Delta} f(\tau)\delta(t - \tau)d\tau \\
&\approx& \int_{t-\Delta}^{t+\Delta} f(t)\delta(t - \tau)d\tau \\
&=& f(t)\int_{t-\Delta}^{t+\Delta} \delta(t - \tau)d\tau \\
&=& f(t) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t - \tau)d\tau \\
&=& f(t)
\end{eqnarray*}
\midpar

\ctitle{系统的输出}
一个系统的输入为
\[ x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t - \tau)d\tau \]
它的输出表示为
\[ y(t) = f(x(t)) \]
由于是线性时不变系统，所以可以表示为
\[ y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)f(\delta(t - \tau))d\tau \]
其中单位冲激函数的输出表示为
\[ h(t) = f(\delta(t)) \]
所以有
\[ h(t - \tau) = f(\delta(t - \tau)) \]
最后输出是
\[ y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t - \tau)d\tau \]
\midpar

\ctitle{卷积积分}
按照上面的形式，有下面的卷积积分
\[ x(t)*h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t - \tau)d\tau \]
它满足下面的交换律
\[ x(t)*h(t) = h(t)*x(t) \]
它按下面的方法计算。令~$t - \tau = \eta$，那么有
\[ d\tau = -d\eta,\quad \eta\in(+\infty, -\infty) \]
所以有
\begin{eqnarray*}
x(t)*h(t) &=& \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t - \tau)d\tau \\
&=& \int_{+\infty}^{-\infty} x(t - \eta)h(\eta)(-1)d\eta \\
&=& \int_{-\infty}^{+\infty} x(t - \eta)h(\eta)d\eta \\
&=& \int_{-\infty}^{+\infty} h(\eta)x(t - \eta)d\eta \\
&=& h(t)*x(t)
\end{eqnarray*}
\midpar

\ctitle{线性时不变系统的特征输入函数}
特征输入函数就是输出函数和输入函数是同一个类型。就像矩阵的特征向量
一样。也就是说，如果~$x(t)$~是输入，$y(t)$~是输出，他们之间满足
\[ y(t) = f(x(t)) = \lambda\cdot x(t) \]
这样~$x(t)$~可以称作线性时不变系统的特征函数。因为输出是输入的倍数，
所以特征函数有特殊的用处。实际上下面的函数
\[ x(t) = e^{st},\quad (s = a + bj) \]
就是一个特征函数。它可以如下计算
\[ y(t) = x(t)*h(t) \]
\[ y(t) = h(t)*x(t) \]
使用第二个表达式。因为这个表达式可以计算出结果。
\begin{eqnarray*}
y(t) &=& h(t)*x(t) \\
&=& \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)x(t - \tau)d\tau \\
&=& \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau \\
&=& \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)e^{st}e^{-s\tau}d\tau \\
&=& e^{st}\int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)e^{-s\tau}d\tau \\
&=& e^{st}H(s)
\end{eqnarray*}
其中有
\[ H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)e^{-s\tau}d\tau \]
也就是有
\[ y(t) = f(e^{st}) = H(s)e^{st} \]
其中~$H(s)$~是一个复数，它是一个常数。所以函数~$e^{st}$~是线性时不变
系统的特征函数。
\midpar

\ctitle{信号在特征函数上的分解}
把信号~$x(t)$~分解为特征函数的组合
\[ x(t) = c_1 e^{s_1 t} + \cdots + c_n e^{s_n t} \]
那么它的输出可以简单的表示为
\begin{eqnarray*}
y(t) &=& f(x(t)) \\
&=& c_1 f(e^{s_1 t}) + \cdots + c_n f(e^{s_n t}) \\
&=& c_1H(s_1)e^{s_1 t} + \cdots + c_nH(s_n)e^{s_n t}
\end{eqnarray*}


\subsection{多自由度的受迫振动}
受迫振动方程是
\[ M\ddot{x} + Kx = q \]
其中~$M,K$~是实对称矩阵，$q$~为外荷载向量。基本过程与自由振动时相同。
首先根据
\[ |K - \omega^2 M| = 0 \]
计算出特征值~$\omega_i$，然后计算出每个特征值对应的特征向量
\[ A_i = [A_{i1},A_{i2},\cdots,A_{in}]^T \]
于是可以解耦此方程
\[ (A^TMA)(A^{-1}x)'' + (A^TKA)(A^{-1}x) = A^Tq \]
使用符号
\[ M_p = A^TMA,\quad K_p = A^TKA,\quad s = A^{-1}x \]
方程变成
\[ M_p s'' + K_p s = A^T q \]
这个方程已经解耦，可以直接计算。实际上相当于要计算下面的方程
\[ ms'' + ks = f(t) \]
其中~$f(t)$~是某个周期函数。可以把~$f(t)$~展开成傅里叶级数的形式
\[ ms'' + ks = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{jn\omega t} \]
这需要分别计算
\[ ms'' + ks = C_n e^{jn\omega t} \quad (n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots) \]
然后把结果加起来就是原方程的解。如果不想使用傅里叶级数计算，还可以
使用卷积积分。


\subsection{用卷积计算受迫振动}
一般的受迫振动方程为
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = f(t) \]
其中~$f(t)$~是作用在质点上的任意的外力。方程可以表示为
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 
   \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta(t - \tau)d\tau 
\]
为了表示方便起见，使用符号
\[ P(D) = mD^2 + cD + k \]
表示一个微分算子。于是方程表示为
\[ P(D)x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta(t - \tau)d\tau \]
然后计算它的解。
\[ x(t) = P^{-1}(D)\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta(t - \tau)d\tau \]
\[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} P^{-1}(D)f(\tau)\delta(t - \tau)d\tau \]
\[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)P^{-1}(D)\delta(t - \tau)d\tau \]
所以只要计算出
\[ P^{-1}(D)\delta(t - \tau) \]
的结果就可以了。由于弹簧振子是一个线性时不变系统，所以只需要计算出
下面的解即可
\[ P^{-1}(D)\delta(t) \]
令它的解是~$h(t)$，也就是
\[ h(t) = P^{-1}(D)\delta(t) \]
也就是
\[ P(D)h(t) = \delta(t) \]
计算出了~$h(t)$~之后，就有
\[ P^{-1}(D)\delta(t - \tau) = h(t - \tau) \]
于是原方程的解就是
\[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)h(t - \tau)d\tau \]
\midpar
\hrule
\midpar

下面计算下面的核心方程
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = \delta(t) \]
对于有阻尼的情形，根据阻尼比的大小分为三种情况。下面只计算阻尼比小
于~$1$~的情况。这个方程实际上等于弹簧振子的自由振动，附加了一个特殊
的初始条件。初始位移为零，初始动量为
\[ mv_0 = 1 \]
于是初始速度为
\[ v_0 = \frac{1}{m} \]
当阻尼比小于~$1$~时，弹簧振子的自由振动的解是
\[ x(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}[A\cos(\sqrt{1 - \zeta^2}\omega_0 t) + 
   B\sin(\sqrt{1 - \zeta^2}\omega_0 t)] 
\]
代入初始位移，得到~$A=0$，于是方程的解是
\[ x(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}B\sin(\sqrt{1 - \zeta^2}\omega_0 t) \]
代入初始速度，解出来
\[ B = \frac{1}{\sqrt{1 - \zeta^2}m\omega_0} \]
于是方程的解为
\[ x(t) = \frac{1}{m\omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}}e^{-\zeta\omega_0 t}
   \sin(\sqrt{1 - \zeta^2}\omega_0 t) \quad (\zeta < 1) 
\]
\midpar
\hrule
\midpar

所以方程
\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = f(t) \]
的解为
\[ x(t) = \frac{1}{m\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}}\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)
   e^{-\zeta\omega_0(t-\tau)}\sin\sqrt{1 - \zeta^2}\omega_0(t - \tau)d\tau 
\]
当无阻尼时，结果是
\[ x(t) = \frac{1}{m\omega_0}\int_{-\infty}^{\infty} 
   f(\tau)\sin\omega_0(t - \tau)d\tau 
\]


\subsection{矩阵是线性映射的表现}
表达式~$y=Ax$~表示把线性空间中任意向量按照一定的规则映射为另一个
向量。这个映射的规则就是~$A$。也可以表示的更简单一些。比如向量
\[ x = x_1e_1 + x_2e_2 + \cdots + x_ne_n \]
那么由于矩阵是线性的，结果有
\[ Ax = x_1 Ae_1 + x_2 Ae_2 + \cdots + x_n Ae_n \]
所以实际上要确定一个线性映射，只需要给定它对基矢量的映射即可。
也就是给定
\[ Ae_i \quad (i=1,2,\cdots,n) \]
所以可以把线性映射写成更为一般的形式，比如使用下面的表示方法
\[ f(e_1),f(e_2),\cdots,f(e_n) \]
给定了上面的一堆函数，也就给定了一个线性映射，这和给定矩阵~$A$~是
等价的。所以现在对于~$y=Ax$~可以写成
\begin{eqnarray*}
y &=& Ax \\
&=& f(x) \\
&=& f(x_1e_1 + x_2e_2 + \cdots + x_ne_n) \\
&=& x_1f(e_1) + x_2f(e_2) + \cdots + x_nf(e_n)
\end{eqnarray*}
\midpar

对于~$y=Ax$，表示的更一般一些，用线性映射表示它
\[ y = Ax = f(x) = f([e_1,e_2,\cdots,e_n][x_1,x_2,\cdots,x_n]^T) \]
结果是
\[ y = f([e_1,e_2,\cdots,e_n])[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T \]
所以有
\[ f([e_1,e_2,\cdots,e_n]) = [e_1,e_2,\cdots,e_n]A \]
线性映射~$f$~在一组基~$e_1,\cdots,e_n$~下表现为矩阵~$A$。如果换一组
基，那么线性映射~$f$~就会表现为另一个矩阵。


\subsection{线性映射带基运算}
对于表达式
\[ y=Ax \]
下面使用线性映射带基矢量来计算。有两组基，分别是
\[ e_1,e_2,\cdots,e_n \]
\[ g_1,g_2,\cdots,g_n \]
向量表示为
\[ x = [e_1,\cdots,e_n][x_1,\cdots,x_n]^T 
     = [g_1,\cdots,g_n][x'_1,\cdots,x'_n]^T 
\]
\[ y = [e_1,\cdots,e_n][y_1,\cdots,y_n]^T 
     = [g_1,\cdots,g_n][y'_1,\cdots,y'_n]^T 
\]
又两组基之间的关系是
\[ [e_1,e_2,\cdots,e_n] = [g_1,g_2,\cdots,g_n]C \]
下面计算，用~$f$~表示矩阵~$A$~对应的线性映射。
\[ y = f(x) \]
\[ y = f([e_1,\cdots,e_n][x_1,\cdots,x_n]^T) \]
\[ y = f([e_1,\cdots,e_n])[x_1,\cdots,x_n]^T \]
\[ y = [e_1,\cdots,e_n]A[x_1,\cdots,x_n]^T \]
现在考虑上面等式的右边，基和坐标换成
\[ [g_1,\cdots,g_n],\quad [x'_1,\cdots,x'_n]^T \]
表示。因为已知有
\[ [e_1,e_2,\cdots,e_n] = [g_1,g_2,\cdots,g_n]C \]
\[ [x_1,x_2,\cdots,x_n]^T = C^{-1}[x'_1,x'_2,\cdots,x'_n]^T \]
替换掉有
\[ y = [g_1,\cdots,g_n]CAC^{-1}[x'_1,\cdots,x'_n]^T \]
再把左边用新坐标表示出来
\[ [g_1,\cdots,g_n][y'_1,\cdots,y'_n]^T = 
   [g_1,\cdots,g_n]CAC^{-1}[x'_1,\cdots,x'_n]^T 
\]
也就是有
\[ [y'_1,\cdots,y'_n]^T = CAC^{-1}[x'_1,\cdots,x'_n]^T \]
也就是
\[ \cmatrix{y'}{n} = CAC^{-1}\cmatrix{x'}{n} \]
这和前面的结果是一样的。不过是使用线性变换的符号，以及带着不同的基
进行计算。


\subsection{相似矩阵}
根据分析，一个线性变换~$f$~在不同的基下对应不同的矩阵。这些对应于同
一线性变换的矩阵称为相似矩阵。根据结果，对于矩阵~$A$，如果存在可逆
矩阵~$C$，满足
\[ B = CAC^{-1} \]
那么~$B$~和~$C$~是相似矩阵。实际上它们对应同一线性变换。所以线性变换
是实质，矩阵是表象。
\midpar

选取不同的基，会给出不同的矩阵。有一种比较特殊的基，它给出的矩阵最
简单。这组基就是由线性无关的特征向量组成的一组基。比如
\[ r_1,r_2,\cdots,r_n \]
是一组特征向量，它们线性无关，且具有足够的表达能力，能够表示出线性
空间所有的向量。所以它们是一组很好的基。由于是特征向量，它们有
\[ f(r_i) = \lambda_i r_i \quad (i=1,2,\cdots,n) \]
其中~$\lambda_i$~是特征值。在这组基下，对应一个矩阵记做~$B$。满足
\[ f([r_1,r_2,\cdots,r_n]) = \diagm{\lambda}{n}\cmatrix{r}{n} \]
所以这组基对应的矩阵是
\[ B = \diagm{\lambda}{n} \]
这是这个线性变换的最简表现形式。
\midpar

把一个矩阵~$A$~根据相似关系简化到对角矩阵，叫做对角化。这种操作就是
要找到线性映射的最简单的表现形式。相似是一种等价关系。等价关系有三
种要求：反身性、对称性、传递性。下面说明传递性。如果~$A$~等价于~$B$，
又~$B$~等价于~$D$，则存在可逆矩阵~$C,P$~分别满足
\[ B = CAC^{-1} \]
\[ D = PBP^{-1} \]
所以有
\[ D = PCAC^{-1}P^{-1} = (PC)A(PC)^{-1} \]
所以~$D$~和~$A$~等价。由于相似是一个等价关系，所以根据相似把所有矩阵
分类。相似的矩阵组成一个等价类，它们代表了同一个线性变换。


\subsection{相似矩阵具有相同的特征值}
矩阵的线性映射~$f$~在不同的基下的两个矩阵为~$A,B$，这两个矩阵相似。
这两个矩阵具有相同的特征值。实际上特征向量也可以说是相同的，但是由
于向量在不同的基下表现不同，所以一般不说特征向量相同。如果~$x$~是线
性映射的特征向量，那么有
\[ f(x) = \lambda x \]
这个向量是一个实体，在不同的基下有不同的表现。
\midpar

如果矩阵~$A$~的基是~$e_1,\cdots,e_n$，那么有
\[ x = x_1e_1 + \cdots + x_ne_n = [e_1,\cdots,e_n][x_1,\cdots,x_n]^T \]
下面计算
\[ f(x) = \lambda x \]
\[ f([e_1,\cdots,e_n][x_1,\cdots,x_n]^T) = 
   \lambda [e_1,\cdots,e_n][x_1,\cdots,x_n]^T 
\]
\[ f([e_1,\cdots,e_n])[x_1,\cdots,x_n]^T = 
   [e_1,\cdots,e_n]\lambda [x_1,\cdots,x_n]^T 
\]
\[ [e_1,\cdots,e_n]A[x_1,\cdots,x_n]^T = 
   [e_1,\cdots,e_n]\lambda [x_1,\cdots,x_n]^T 
\]
\[ A[x_1,\cdots,x_n]^T = \lambda [x_1,\cdots,x_n]^T \]
\midpar

类似的，如果矩阵~$B$~的基是~$g_1,\cdots,g_n$，那么有
\[ x = y_1g_1 + \cdots + y_ng_n = [g_1,\cdots,g_n][y_1,\cdots,y_n]^T \]
结果是
\[ B[y_1,\cdots,y_n]^T = \lambda [y_1,\cdots,y_n]^T \]
这样两个相似矩阵~$A,B$~就有相同的特征值。
\midpar

相似矩阵的特征向量之间的关系。如果~$x$~是~$A$~的特征向量
\[ Ax = \lambda x \]
又有
\[ A = C^{-1}BC \]
那么有
\[ (C^{-1}BC)x = \lambda x \]
\[ (BC)x = C\lambda x \]
\[ B(Cx) = \lambda (Cx) \]
于是同一个特征值~$\lambda$，在矩阵~$A$~下对应的特征向量是~$x$，
在矩阵~$B$~下对应的特征向量是~$Cx$。

